Бацуев — воспитанник чеченского футбола. С 2014 по 2016 год, на молодежном уровне, он выступал за грозненский «Ахмат» — там же начал и профессиональную карьеру, но закрепиться не смог: провел всего 6 матчей, в которых отметился одной результативной передачей.
Далее на протяжении трех лет Аюб играл в аренде в других российских клубах — сначала в «Тереке-2», потом за «Чайку» (Д2) и, наконец, за черкесский «Интер» (Д3).
В этом сезоне Бацуев сыграл 9 матчей за «Интер», в которых забил 4 мяча и отдал 1 результативную передачу. Сейчас сайт Transfermarkt.de оценивает Аюба в 250 тысяч евро. Также, по информации портала, номинально центральный полузащитник способен также сыграть роль левого и атакующего хавбека.
В 2017 году Аюб Бацуев был назван «Лучшим спортсменом Чечни» по итогам голосования телезрителей в рамках проекта «Лучший из лучших». Он набрал 36% голосов, опередив файтера ММА Абдулрахмана Дудаева (33%) и боксера Артура Бетербиева (31%).
Выступая за «Чайку», Бацуев умудрился забить невероятный гол почти с центра поля