Муса Дудаев родился в селе Элистанжи Веденского района Чечено-Ингушской АССР. Его отец Абди Дудаев был одним из основоположников современной чеченской литературы.
Народный кумир окончил актерский факультет Ленинградского государственного института театра, музыки и кинематографии в 1962 году. Известно, что Муса Дудаев переводил на чеченский язык пьесы русских и зарубежных авторов. На основе его переводов "Маленьких трагедий" ("Моцарт и Сальери", "Скупой рыцарь", "Пир во время чумы") в 1974 году, к 175-летию со дня рождения Александра Пушкина, был поставлен спектакль "Пушкиниана".
В кино Муса Дудаев начал сниматься в 1968 году. Первым стал фильм "Белое солнце пустыни". Всего актер снялся в 26 картинах на различных студиях бывшего СССР.