Родился в 1914 году в селении Химой Шаройского района Чеченской Республики. С 20 сентября 1940 года проходил срочную службу в рядах Красной Армии.
В годы Великой Отечественной войны служил в 87-м Гвардейском стрелковом полку 32-й Краснознамённой стрелковой дивизии, которая впоследствии была переименована в 29-ю Гвардейскую. Снайперскую деятельность начал в июне 1942 года.
22 июля 1942 года Гвардии ефрейтор М. М. Амаев представлен командованием части к первой награде за уничтожение 32 солдат и офицеров противника. Приказом N 591 от 23 июля 1942 года по войскам 5-й Армии Западного фронта награждён медалью "За боевые заслуги". Боевая жизнь сдружила двух воинов - снайперов, Махмуда Амаева и Ивана Шмарина. Они вместе выслеживали немцев, выручали друг друга в беде, спали, прикрываясь одной шинелью. Они обучали снайперскому мастерству молодых бойцов. С их помощью открыли боевые счета более 20 воинов. Об их боевых подвигах слагали легенды.
В сентябре 1942 года снайпер 1-го стрелкового батальона 87-го Гвардейского стрелкового полка (29-я Гвардейская стрелковая дивизия, 33-я Армия, Западный фронт) Гвардии младший сержант М. М. Амаев представлен командованием части к новой награде за уничтожение 77 солдат и офицеров противника. Приказом N 1143 от 16 октября 1942 года по войскам Западного фронта награждён орденом Красного Знамени.
Согласно сообщениям прессы, на ноябрь 1942 года его личный счёт составлял 117 уничтоженных фашистов. В Москве, на выставке "Комсомол в Отечественной войне", которая открылась в начале 1943 года, висела привлекающая внимание посетителей табличка "Личный счёт снайпера-гвардейца, младшего сержанта Махмуда Амаева". В ней ежедневно отмечалось количество истреблённых им фашистов
22 февраля 1943 года Гвардии старший сержант М. Амаев погиб. Похоронен в деревне Лукьянцево, Гжатского района Смоленской области. Окончательный итог его боевой работы не установлен (некоторые источники указывают на 197 врагов). Именем Махмуда Амаева названа улица в селе Знаменское Чеченской Республики.
